Задание 22. Постройте график функции \(y=-1-\frac{x-4}{x^2-4x}\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) не имеет с графиком общих точек.

Область определения: \(x\ne0\), \(x\ne4\). Поскольку \(x^2-4x=x(x-4)\), при допустимых \(x\) функция упрощается до \(y=-1-\frac1x\). При этом точка графика исходной функции с абсциссой \(4\) выколота.

График — гипербола \(y=-1-\frac1x\) с вертикальной асимптотой \(x=0\), горизонтальной асимптотой \(y=-1\) и выколотой точкой \((4,-\frac54)\).

Чтобы найти пересечения с горизонтальной прямой, решим \(-1-\frac1x=m\). Значение \(m=-1\) невозможно, так как тогда потребовалось бы \(\frac1x=0\).

Для \(m\ne-1\) получаем единственное возможное значение \(x=-\frac1{m+1}\). Оно запрещено, если равно \(4\), то есть при \(m=-\frac54\). Поэтому для этого уровня пересечения также нет: соответствующая точка выколота.

Ответ: \(m=-1\) или \(m=-\frac54\).