Задание 24. В треугольнике $ABC$ с тупым углом $\angle ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Докажите, что треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$ подобны.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание 24. В треугольнике $ABC$ с тупым углом $\angle ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Докажите, что…$ Фото задания

Задание 24. В треугольнике $ABC$ с тупым углом $\angle ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Докажите, что треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$ подобны.

Accepted Answer

Так как $AA_1\perp BC$ и $CC_1\perp AB$, точки $A_1$ и $C_1$ — основания высот на прямых $BC$ и $AB$. Поэтому $BA_1$ лежит на прямой $BC$, а $BC_1$ — на прямой $BA$.

Угол при вершине $B$ общего направления сторон равен: $\angle A_1BC_1=\angle ABC$.

Кроме того, $AA_1\perp BC$ и $CC_1\perp AB$, значит $\angle AA_1B=\angle AC_1C=90^\circ$. Следовательно, точки $A,A_1,C,C_1$ лежат на одной окружности с диаметром $AC$.

Из вписанных углов этой окружности получаем $\angle BA_1C_1=\angle BAC$ и $\angle BC_1A_1=\angle BCA$ (с учётом того, что угол при $B$ тупой, основания высот лежат на продолжениях соответствующих сторон).

Таким образом, соответствующие углы треугольников $A_1BC_1$ и $ABC$ равны, поэтому треугольники подобны по двум углам.

Что и требовалось доказать.

Задание 24. В треугольнике \(ABC\) с тупым углом \(\angle ABC\) проведены высоты \(AA_1\) и \(CC_1\). Докажите, что треугольники \(A_1BC_1\) и \(ABC\) подобны.

Ответ: