Задание 23. Биссектриса угла \(A\) параллелограмма \(ABCD\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(K\). Найдите периметр параллелограмма, если \(BK=11\), \(CK=20\).

Так как \(BC=BK+CK=11+20=31\), то противоположная сторона \(AD=31\).

Поскольку \(BK\parallel AD\), угол \(BAK\) равен углу между \(AB\) и \(AD\). А так как \(AK\) — биссектриса угла \(A\), то \(\angle BAK=\angle KAD\). Следовательно, \(\angle BAK=\angle AKB\), и треугольник \(ABK\) равнобедренный: \(AB=BK=11\).

Периметр параллелограмма:

\(P=2(AB+BC)=2(11+31)=84\).

Ответ: 84.