Задание 22. Постройте график функции \(y=\frac12\left(\left|\frac{x}{4}-\frac{4}{x}\right|+\frac{x}{4}+\frac{4}{x}\right)\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: \(x\ne0\). Учитывая знак выражения \(\frac{x}{4}-\frac{4}{x}=\frac{x^2-16}{4x}\), получаем кусочную запись:

\(y=\frac4x\) при \(x<-4\) и \(0<x<4\); \(y=\frac{x}{4}\) при \(-4\le x<0\) и \(x\ge4\). При \(x=-4\) и \(x=4\) обе формулы дают соответственно \(-1\) и \(1\).

График состоит из двух частей гиперболы и двух лучей прямой. На каждом из промежутков \((-\infty,-4)\) и \((-4,0)\) значения функции принадлежат интервалу \((-1,0)\), причём любое такое значение достигается дважды. Аналогично, каждое значение из \((1,+\infty)\) достигается дважды. Значения \(-1\) и \(1\) достигаются по одному разу: при \(x=-4\) и \(x=4\) соответственно. Следовательно, искомые \(m\) — это \(-1\) и \(1\).

График показан схематически: для наглядности верхняя ветвь ограничена по вертикали. Горизонтальная прямая пересекает график ровно один раз только на уровнях \(m=-1\) и \(m=1\).

Ответ: \(m=-1\) или \(m=1\).