Задание 24. Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $N$, лежащей на стороне $CD$. Докажите, что $N$ — середина $CD$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание 24. Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $N$, лежащей на стороне $CD$.…$ Фото задания

Задание 24. Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $N$, лежащей на стороне $CD$. Докажите, что $N$ — середина $CD$.

Accepted Answer

Так как $AN$ — биссектриса угла $A$, а $DN\parallel AB$, то $\angle DAN=\angle AND$. Следовательно, треугольник $ADN$ равнобедренный и $AD=DN$.

Аналогично, $BN$ — биссектриса угла $B$, а $CN\parallel AB$. Поэтому $\angle ABN=\angle BNC$. Так как $\angle ABN=\angle NBC$, а $\angle BNC=\angle NBC$ (из параллельности $CD\parallel AB$), получаем, что треугольник $BCN$ равнобедренный: $BC=CN$.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $AD=BC$. Из двух равенств следует $DN=CN$. Поскольку $N$ лежит на стороне $CD$, точка $N$ делит её на равные отрезки.

Следовательно, $N$ — середина $CD$. Доказано.

Задание 24. Биссектрисы углов \(A\) и \(B\) параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(N\), лежащей на стороне \(CD\). Докажите, что \(N\) — середина \(CD\).

Ответ: