Задание 22. Постройте график функции \(y=|x|\cdot(x+2)-5x\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

Разберём модуль по знаку аргумента:

При \(x\geq0\): \(y=x(x+2)-5x=x^2-3x\).

При \(x<0\): \(y=-x(x+2)-5x=-x^2-7x\).

График задан обеими ветвями парабол: левая ветвь \(y=-x^2-7x\) при \(x<0\), правая ветвь \(y=x^2-3x\) при \(x\geq0\).

Для горизонтальной прямой число пересечений меняется на уровнях вершин ветвей и при \(m=0\). Левая ветвь имеет максимум 12 в точке \((-3,12)\); правая — минимум \(-\frac94\) в точке \((\frac32,-\frac94)\). При \(m=0\) график пересекается с прямой в точках с абсциссами \(-7,0,3\), то есть имеет три общие точки. Между уровнями \(-\frac94\) и 0 пересечений две; при уровнях от 0 до 12 включительно, кроме 0, также две. Выше 12 пересечений нет.

Ответ: \(-\frac94<m<0\) или \(0<m\leq12\).