Задание 24. Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка L — середина стороны BC. Докажите, что DL — биссектриса угла CDA.

Пусть M — середина стороны AD. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны: \(AD=BC\) и \(AD\parallel BC\). Поэтому \(DM=\frac{AD}{2}=\frac{BC}{2}=BL=LC\), а \(DM\parallel LC\).

В четырёхугольнике DMLC одна пара противоположных сторон равна и параллельна, значит, DMLC — параллелограмм. Следовательно, \(ML=DC\). По условию \(BC=2CD\), поэтому \(DM=\frac{BC}{2}=CD\). Значит, \(DM=ML=LC=CD\), то есть DMLC — ромб.

Диагональ ромба DL делит угол MDC пополам. Поскольку M лежит на DA, угол MDC совпадает с углом CDA. Следовательно, \(DL\) — биссектриса угла CDA.