Задание 25. В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 16, BC = 8.

Пусть \(AB\) — ось \(x=0\), а \(BC\) — ось \(y=0\). Тогда можно задать координаты \(B(0;0)\), \(C(8;0)\), \(A(0;h)\), \(D(16;h)\). Обозначим \(E(0;t)\). Центр окружности, касающейся прямой \(AB\) в точке E, имеет координаты \(O(r;t)\), а радиус равен \(|r|\).

Так как C лежит на окружности, \((8-r)^2+t^2=r^2\), откуда \(16r=64+t^2\).

Так как D также лежит на окружности, \((16-r)^2+(h-t)^2=r^2\). Подставим найденное выражение для \(r\):

\[h^2-2ht-t^2+128=0,\qquad 2ht=h^2+128-t^2.\]

Направляющий вектор прямой CD равен \((8;h)\). Расстояние от E до CD найдём через площадь параллелограмма, построенного на векторах \(\overrightarrow{CE}=(-8;t)\) и \(\overrightarrow{CD}=(8;h)\):

\[d=\frac{|(-8)h-8t|}{\sqrt{8^2+h^2}}=\frac{8|h+t|}{\sqrt{64+h^2}}.\]

Из полученного соотношения следует \((h+t)^2=h^2+2ht+t^2=2h^2+128=2(h^2+64)\). Поэтому \(d^2=128\), а расстояние положительно.

Ответ: \(8\sqrt{2}\).