Задание № 3. (7 балл) Упростите выражение: \(\frac{2}{m}-\left(\frac{m+1}{m^3-1}-\frac{1}{m^2+m+1}-\frac{2}{1-m}\right):\frac{m^3+m^2+2m}{m^2-1}\).

Обозначим выражение в скобках через \(B\). Разложим \(m^3-1=(m-1)(m^2+m+1)\) и учтём, что \(-\frac{2}{1-m}=\frac{2}{m-1}\).

\(B=\frac{m+1}{(m-1)(m^2+m+1)}-\frac{1}{m^2+m+1}+\frac{2}{m-1}\).

Первые две дроби дают \(\frac{2}{(m-1)(m^2+m+1)}\). Поэтому \(B=\frac{2(m^2+m+2)}{(m-1)(m^2+m+1)}\).

Деление на вторую дробь заменяем умножением на обратную. Так как \(m^3+m^2+2m=m(m^2+m+2)\) и \(m^2-1=(m-1)(m+1)\), имеем:

\(B:\frac{m^3+m^2+2m}{m^2-1}=\frac{2(m+1)}{m(m^2+m+1)}\).

Подставляем результат:

\(\frac{2}{m}-\frac{2(m+1)}{m(m^2+m+1)}=\frac{2}{m}\cdot\frac{m^2}{m^2+m+1}=\frac{2m}{m^2+m+1}\).

Ответ: \(\frac{2m}{m^2+m+1}\).

Исходное выражение определено при \(m\ne -1,0,1\).