Задание № 4. (7 балл) Докажите тождество: \(\left(\frac{x}{3x+9}-\frac{3}{x^2-3x}+\frac{x^2+9}{27-3x^2}\right):\frac{(3x+9)^2}{3x^2-x^3}=\frac{x}{9x+27}\).

Область допустимых значений исходного выражения: \(x\ne -3,0,3\). Преобразуем выражение в скобках, приводя дроби к общему знаменателю \(3x(x-3)(x+3)\):

\(\frac{x}{3(x+3)}-\frac{3}{x(x-3)}+\frac{x^2+9}{3(3-x)(x+3)}\)

\(=\frac{x^2(x-3)(x-3)-9(x+3)+(x^2+9)x(3-x)}{3x(x-3)(x+3)}\).

Числитель равен \(3(x-3)^2(x+3)\), поэтому выражение в скобках сокращается до \(\frac{x-3}{x}\).

Теперь вычислим левую часть:

\(\frac{x-3}{x}:\frac{(3x+9)^2}{3x^2-x^3}=\frac{x-3}{x}\cdot\frac{x^2(3-x)}{9(x+3)^2}\).

Так как \(3-x=-(x-3)\), это выражение равно \(-\frac{x(x-3)^2}{9(x+3)^2}\), а не \(\frac{x}{9(x+3)}\). Следовательно, в условии, вероятно, есть ошибка: записанное равенство не является тождеством.

Ответ: тождество в представленном виде неверно.