Задание 3. Дана правильная четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. Диагональ B₁D равна 10 см и составляет с основанием угол 60°. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Правильная четырёхугольная призма — прямая призма с квадратом в основании. Проекция диагонали \(B_1D\) на плоскость основания — диагональ квадрата \(BD\).

1. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(B_1D=10\) угол между диагональю и основанием равен 60°. Поэтому \(BD=10\cos60^\circ=5\) см, а высота призмы \(h=10\sin60^\circ=5\sqrt3\) см.
2. Если сторона основания равна \(a\), то \(a\sqrt2=BD=5\), значит \(a=\frac{5}{\sqrt2}\) см.
3. Площадь двух оснований: \(2a^2=2\cdot\frac{25}{2}=25\text{ см}^2\).
4. Боковая площадь: \(4ah=4\cdot\frac{5}{\sqrt2}\cdot5\sqrt3=50\sqrt6\text{ см}^2\).

Следовательно, \(S_{\text{полн}}=25+50\sqrt6\text{ см}^2\).

Ответ: \(25+50\sqrt6\text{ см}^2\).