Задание 3. Дана правильная четырёхугольная призма \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Диагональ \(B_1D\) равна 8 см и составляет с основанием угол 60°. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Пусть сторона квадратного основания равна \(a\), а высота призмы — \(h\). Проекция диагонали \(B_1D\) на основание — диагональ квадрата \(BD=a\sqrt{2}\).

Из угла между диагональю и плоскостью основания: \(h=8\sin 60^\circ=4\sqrt{3}\) см, а \(BD=8\cos 60^\circ=4\) см.

Тогда \(a\sqrt{2}=4\), поэтому \(a=2\sqrt{2}\) см. Площадь полной поверхности призмы:

\(S_{\text{полн}}=2a^2+4ah=2(2\sqrt{2})^2+4(2\sqrt{2})(4\sqrt{3})=16+32\sqrt{6}\) см².

Ответ: \(16+32\sqrt{6}\) см².