ЗАДАНИЕ №3. Найдите косинусы углов треугольника, вершинами которого являются точки A(−2; 4), B(2; 8) и C(7; −2).

Найдём направляющие векторы:

\[\overrightarrow{AB}=(4;4),\quad \overrightarrow{AC}=(9;-6),\quad \overrightarrow{BA}=(-4;-4),\quad \overrightarrow{BC}=(5;-10),\quad \overrightarrow{CA}=(-9;6),\quad \overrightarrow{CB}=(-5;10).\]

Для угла A:

\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\cdot9+4\cdot(-6)=12,\]

\[|AB|=4\sqrt2,\quad |AC|=3\sqrt{13},\quad \cos A=\frac{12}{12\sqrt{26}}=\frac{1}{\sqrt{26}}.\]

Для угла B:

\[\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(-4)\cdot5+(-4)\cdot(-10)=20,\]

\[|BA|=4\sqrt2,\quad |BC|=5\sqrt5,\quad \cos B=\frac{20}{20\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.\]

Для угла C:

\[\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=(-9)\cdot(-5)+6\cdot10=105,\]

\[|CA|=3\sqrt{13},\quad |CB|=5\sqrt5,\quad \cos C=\frac{105}{15\sqrt{65}}=\frac{7}{\sqrt{65}}.\]

Ответ: \(\cos A=\frac{1}{\sqrt{26}}\), \(\cos B=\frac{1}{\sqrt{10}}\), \(\cos C=\frac{7}{\sqrt{65}}\).