Задание 3. Решите уравнение: \(\sqrt[3]{2x+3}=\sqrt{x+2}\).

Правая часть неотрицательна, значит и \(\sqrt[3]{2x+3}\ge0\). Поэтому \(x\ge-\frac32\), а также должно выполняться условие \(x\ge-2\).

Положим \(y=\sqrt{x+2}\), где \(y\ge0\). Тогда \(x=y^2-2\), и уравнение принимает вид \(\sqrt[3]{2y^2-1}=y\). Возведём обе части в куб: \(2y^2-1=y^3\), или \((y-1)(y^2-y-1)=0\).

С учётом \(y\ge0\) получаем \(y=1\) или \(y=\frac{1+\sqrt5}{2}\). Тогда \(x=y^2-2\): соответственно \(x=-1\) и \(x=\frac{\sqrt5-1}{2}\). Оба значения удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: \(x=-1;\ \frac{\sqrt5-1}{2}\).