Задание 4. Решите уравнение: \(\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=2\).

Область определения: \(x\ge1\). Положим \(u=\sqrt{x-1}\), тогда \(u\ge0\) и \(x=u^2+1\).

Подкоренные выражения преобразуются так: \(x+2\sqrt{x-1}=(u+1)^2\), \(x-2\sqrt{x-1}=(u-1)^2\). Поэтому исходное уравнение равносильно \(u+1+|u-1|=2\).

При \(0\le u\le1\) левая часть равна \(u+1+1-u=2\), поэтому подходят все такие \(u\). При \(u>1\) уравнение принимает вид \(2u=2\), что даёт только \(u=1\), уже включённое в этот промежуток. Следовательно, \(0\le u\le1\), то есть \(1\le x\le2\).

Ответ: \(x\in[1;2]\).