Задание 5. Решите уравнение: \(\sqrt{4+x\sqrt{36+x^2}}=x+2\).

Правая часть должна быть неотрицательной, поэтому \(x\ge-2\). Возведём уравнение в квадрат:

\(4+x\sqrt{x^2+36}=(x+2)^2\), откуда \(x\sqrt{x^2+36}=x(x+4)\).

Если \(x=0\), исходное уравнение выполняется: \(\sqrt4=2\). Если \(x\ne0\), разделим на \(x\): \(\sqrt{x^2+36}=x+4\). Возведём в квадрат: \(x^2+36=(x+4)^2\), поэтому \(8x=20\) и \(x=\frac52\). Проверка: левая и правая части исходного уравнения равны \(\frac92\).

Ответ: \(x=0;\ \frac52\).