Задание 3. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Точка M — середина стороны AB. Найдите углы треугольника AOM, если угол CAD равен 35 градусов.

В прямоугольнике \(AD\perp AB\), поэтому угол DAB равен 90°. Диагональ AC делит его на углы CAD и CAB:

\(\angle CAB=90^\circ-35^\circ=55^\circ\).

Точка O лежит на AC, а M — на AB, следовательно, \(\angle OAM=55^\circ\).

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(OA=OB\). Кроме того, M — середина AB, значит, \(AM=MB\). Отрезок OM — средняя линия треугольника AБB, поэтому \(OM\parallel AB\) и, поскольку \(AM\subset AB\), \(\angle AMO=90^\circ\).

Сумма углов треугольника равна 180°: \(\angle AOM=180^\circ-55^\circ-90^\circ=35^\circ\).

Ответ: \(\angle OAM=55^\circ\), \(\angle AOM=35^\circ\), \(\angle AMO=90^\circ\).