Задание 5. Докажите, что четырёхугольник, вершины которого являются серединами сторон произвольного прямоугольника, является ромбом.

Обозначим прямоугольник ABCD, а середины его сторон AB, BC, CD и DA — соответственно E, F, G и H. Соединим эти точки по порядку.

В треугольнике ABC отрезок EF соединяет середины AB и BC, поэтому по свойству средней линии \(EF=AC/2\).

Аналогично, в треугольнике BCD: \(FG=BD/2\); в треугольнике CDA: \(GH=AC/2\); в треугольнике DAB: \(HE=BD/2\).

Диагонали прямоугольника равны: \(AC=BD\). Следовательно, \(EF=FG=GH=HE\). Четырёхугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.

Что и требовалось доказать.