Задание 3. Вычислить $\cos(\alpha-\beta)$, если $\cos\alpha=-0{,}8$, $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$, $\sin\beta=-\frac{12}{13}$, $\pi<\beta<\frac{3\pi}{2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание 3. Вычислить $\cos(\alpha-\beta)$, если $\cos\alpha=-0{,}8$, $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$,…$ Фото задания

Accepted Answer

Так как $\cos\alpha=-\frac45$, а угол $\alpha$ лежит во II четверти, то $\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\frac35$.

Угол $\beta$ лежит в III четверти, поэтому его косинус отрицателен: $\cos\beta=-\sqrt{1-\sin^2\beta}=-\frac5{13}$.

Используем формулу разности косинусов:

$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$.

$\cos(\alpha-\beta)=\left(-\frac45\right)\left(-\frac5{13}\right)+\frac35\left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{20}{65}-\frac{36}{65}=-\frac{16}{65}$.

Ответ: $-\frac{16}{65}$.

Задание 3. Вычислить \(\cos(\alpha-\beta)\), если \(\cos\alpha=-0{,}8\), \(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\), \(\sin\beta=-\frac{12}{13}\), \(\pi<\beta<\frac{3\pi}{2}\).