Задание 4. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=1/6 t³+t²−8t+180, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, измеренное с момента начала движения. В какой момент времени её скорость была равна 40 м/с?

\[v(t)=x'(t)=\frac12t^2+2t-8.\]

Составим уравнение:

\[\frac12t^2+2t-8=40,\quad \frac12t^2+2t-48=0.\]

После умножения на 2:

\[t^2+4t-96=0.\]

\[D=4^2-4\cdot1\cdot(-96)=400,\quad t=\frac{-4\pm20}{2}.\]

Получаем \(t=8\) с или \(t=-12\) с. Отрицательное время не подходит.

Ответ: 8 с.