Задание 4. Найдите значения выражений: 1. \((\log_2 16)(\log_6 36)\); 2. \(7+5^{\log_5 4}\); 3. \(36^{\log_6 5}\); 4. \(\log_{0.25}2\); 5. \(\log_5 60-\log_5 12\); 6. \(\log_{0.5}0.2+\log_{0.5}4\); 7. \(\dfrac{\log_7 13}{\log_{49}13}\); 8. \(\log_{\sqrt{13}}13\); 9. \(\dfrac{\log_3 5}{\log_3 7}+\log_7 0.2\).

1. \(\log_2 16=4\), \(\log_6 36=2\), значит произведение равно \(4\cdot2=8\).

2. По тождеству \(a^{\log_a b}=b\): \(7+5^{\log_5 4}=7+4=11\).

3. \(36=6^2\), поэтому \(36^{\log_6 5}=(6^{\log_6 5})^2=5^2=25\).

4. Пусть \(x=\log_{0.25}2\). Тогда \((1/4)^x=2\), то есть \(2^{-2x}=2^1\), откуда \(x=-1/2\).

5. По правилу разности логарифмов: \(\log_5 60-\log_5 12=\log_5(60/12)=\log_5 5=1\).

6. По правилу суммы логарифмов: \(\log_{0.5}(0.2\cdot4)=\log_{0.5}0.8=\log_{1/2}(4/5)\).

Поскольку \((1/2)^x=4/5\), получаем \(x=\log_2(5/4)\).

7. Так как \(49=7^2\), то \(\log_{49}13=\frac12\log_7 13\). Следовательно, отношение равно \(2\).

8. \(\sqrt{13}=13^{1/2}\), поэтому \(\log_{\sqrt{13}}13=2\).

9. По формуле перехода к новому основанию \(\dfrac{\log_3 5}{\log_3 7}=\log_7 5\). Тогда \(\log_7 5+\log_7 0.2=\log_7(5\cdot0.2)=\log_7 1=0\).

Ответ: 1) 8; 2) 11; 3) 25; 4) \(-\frac12\); 5) 1; 6) \(\log_2(\frac54)\); 7) 2; 8) 2; 9) 0.