Задание № 4. Отметьте на координатной плоскости точки A(-3;1); B(0;-4) и M(2;-1). Проведите прямую AB. Через точку M проведите прямую, параллельную прямой AB, и прямую, перпендикулярную прямой AB.

Решение:

1. Построим точки A(-3;1), B(0;-4), M(2;-1) на координатной плоскости.

2. Проведем прямую AB.

Найдем уравнение прямой AB. Сначала найдем угловой коэффициент \( k_{AB} \):

\( k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-4 - 1}{0 - (-3)} = \frac{-5}{3} \)

Уравнение прямой AB имеет вид \( y - y_A = k_{AB}(x - x_A) \) или \( y - y_B = k_{AB}(x - x_B) \). Используем точку B(0;-4):

\( y - (-4) = -\frac{5}{3}(x - 0) \)

\( y + 4 = -\frac{5}{3}x \)

\( y = -\frac{5}{3}x - 4 \)

3. Через точку M проведём прямую, параллельную прямой AB.

Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент. Угловой коэффициент искомой прямой \( k_{||} = k_{AB} = -\frac{5}{3} \).

Уравнение прямой, проходящей через точку M(2;-1) с угловым коэффициентом \( k_{||} = -\frac{5}{3} \):

\( y - y_M = k_{||}(x - x_M) \)

\( y - (-1) = -\frac{5}{3}(x - 2) \)

\( y + 1 = -\frac{5}{3}x + \frac{10}{3} \)

\( y = -\frac{5}{3}x + \frac{10}{3} - 1 \)

\( y = -\frac{5}{3}x + \frac{10}{3} - \frac{3}{3} \)

\( y = -\frac{5}{3}x + \frac{7}{3} \)

4. Через точку M проведём прямую, перпендикулярную прямой AB.

Угловой коэффициент перпендикулярной прямой \( k_{\perp} \) связан с угловым коэффициентом прямой AB соотношением \( k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} \).

\( k_{\perp} = -\frac{1}{-\frac{5}{3}} = \frac{3}{5} \)

Уравнение прямой, проходящей через точку M(2;-1) с угловым коэффициентом \( k_{\perp} = \frac{3}{5} \):

\( y - y_M = k_{\perp}(x - x_M) \)

\( y - (-1) = \frac{3}{5}(x - 2) \)

\( y + 1 = \frac{3}{5}x - \frac{6}{5} \)

\( y = \frac{3}{5}x - \frac{6}{5} - 1 \)

\( y = \frac{3}{5}x - \frac{6}{5} - \frac{5}{5} \)

\( y = \frac{3}{5}x - \frac{11}{5} \)

Чертеж:

Ответ: Уравнение прямой AB: \( y = -\frac{5}{3}x - 4 \). Уравнение параллельной прямой через точку M: \( y = -\frac{5}{3}x + \frac{7}{3} \). Уравнение перпендикулярной прямой через точку M: \( y = \frac{3}{5}x - \frac{11}{5} \).