Задание 4. Решить уравнение \(\sqrt{x+13}-\sqrt{x+1}=2\).

Область допустимых значений: \(x\ge-1\). Рационализуем разность, умножив её на сумму корней:

\(\bigl(\sqrt{x+13}-\sqrt{x+1}\bigr)\bigl(\sqrt{x+13}+\sqrt{x+1}\bigr)=12\).

По уравнению разность равна 2, значит, сумма корней равна \(12:2=6\). Пусть \(a=\sqrt{x+13}\), \(b=\sqrt{x+1}\). Тогда \(a-b=2\) и \(a+b=6\), откуда \(a=4\), \(b=2\).

Из \(\sqrt{x+1}=2\) получаем \(x+1=4\), следовательно, \(x=3\). Проверка: \(4-2=2\).

Ответ: \(x=3\).