Задание 4. Решите уравнения: а) \(x^{\frac{3}{2}}=8\); б) \(\sqrt{x+3}=x-3\).

а) Для действительной степени с показателем \(\frac{3}{2}\) требуется \(x\ge0\). Возводим обе части в степень \(\frac{2}{3}\): \(x=8^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{8})^2=4\).

б) Область допустимых значений с учётом правой части: \(x+3\ge0\) и \(x-3\ge0\), то есть \(x\ge3\). Возводим обе части в квадрат: \(x+3=(x-3)^2\). Тогда \(x^2-7x+6=0\), откуда \((x-1)(x-6)=0\) и возможны \(x=1\) или \(x=6\). Условию \(x\ge3\) удовлетворяет только \(x=6\). Проверка: \(\sqrt{6+3}=3=6-3\).

Ответ: а) \(4\); б) \(6\).