Задание 4. Упростите: 1) sin 5α cos 3α − cos 5α sin 3α; 2) cos α cos(α + β) + sin α sin(α + β); 3) [sin(α + β) + sin(α − β)]/[sin(α + β) − sin(α − β)].

1. По формуле синуса разности: \(\sin5\alpha\cos3\alpha-\cos5\alpha\sin3\alpha=\sin(5\alpha-3\alpha)=\sin2\alpha\).
2. По формуле косинуса разности: \(\cos\alpha\cos(\alpha+\beta)+\sin\alpha\sin(\alpha+\beta)=\cos(\alpha-(\alpha+\beta))=\cos(-\beta)=\cos\beta\).
3. Применим формулы суммы и разности синусов: \(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta\), \(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta\). Поэтому \(\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}=\frac{2\sin\alpha\cos\beta}{2\cos\alpha\sin\beta}= g\alpha\ctg\beta\), при условии, что исходный знаменатель не равен нулю.

Ответ: 1) \(\sin2\alpha\); 2) \(\cos\beta\); 3) \( g\alpha\ctg\beta\).