Задание 5. Есть восемь гирек разной целой массы в граммах. Масса одной из них равна 10 г. На необыкновенные весы можно поместить две гирьки, и они покажут, во сколько раз одна тяжелее другой (это число не обязательно будет целым). Весы использовали для каждой возможной пары гирек. Оказалось, что не менее пяти раз весы показали число 2. Найдите наименьшую возможную массу всех восьми гирек.

В условии сказано, что массы гирек — разные целые числа в граммах. Массы положительны. Если весы показывают 2, массы пары относятся как 1:2.

Пять таких пар можно получить, например, гирьками масс 5, 10, 20, 40, 80 и 160 г: соседние массы в этом списке отличаются в 2 раза. Оставшиеся две гирьки должны иметь положительные целые массы, отличные друг от друга и от уже выбранных. Минимально это 1 и 2 г, но пара 1 и 2 также даёт показание 2, что не мешает условию «не менее пяти раз».

Сумма указанных восьми масс равна 1 + 2 + 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160 = 318 г.

Меньшую сумму получить нельзя: чтобы иметь не менее пяти пар с отношением 2 и включить гирьку 10 г, достаточно и наиболее выгодно взять цепочку 5, 10, 20, 40, 80, 160; остальные две наименьшие допустимые массы — 1 и 2 г.

Ответ: 318 г.