Задание 5. Из точки P, лежащей вне окружности с центром в точке O, проведены две касательные PA и PB (A и B — точки касания). Градусная мера дуги AB, заключённой между ними, равна 120°. Радиус окружности равен 6 см. Найдите площадь четырёхугольника PAOB и длину отрезка PO.

Радиусы к точкам касания перпендикулярны касательным, поэтому \(\angle PAO=\angle PBO=90^\circ\). Центральный угол \(\angle AOB\) равен градусной мере дуги AB, то есть 120°.

Угол между касательными \(\angle APB=180^\circ-120^\circ=60^\circ\). Отрезок PO делит этот угол пополам: прямоугольные треугольники PAO и PBO равны, поэтому \(\angle APO=30^\circ\). В треугольнике PAO угол при A прямой, а AO = 6 см — сторона напротив угла 30°, значит гипотенуза \(PO=12\) см.

\(PA=\sqrt{PO^2-AO^2}=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt3\) см. Четырёхугольник PAOB состоит из двух прямоугольных треугольников PAO и PBO, поэтому его площадь равна \(2\cdot\frac12\cdot AO\cdot PA=6\cdot6\sqrt3=36\sqrt3\) см².

Ответ: площадь PAOB равна 36√3 см², PO = 12 см.