Задание 5. Производная (Правила дифференцирования). Найдите производную функции \(y=(x^2+3)\cdot\ln(x)\).

Применим правило производной произведения: \((uv)'=u'v+uv'\). Здесь \(u=x^2+3\), \(u'=2x\), \(v=\ln(x)\), \(v'=\frac1x\); область определения функции — \(x>0\).

Тогда \(y'=2x\ln(x)+(x^2+3)\frac1x=2x\ln(x)+\frac{x^2+3}{x}=2x\ln(x)+x+\frac3x.\)

Ответ: \(y'=2x\ln(x)+x+\frac3x\), \(x>0\).