Задание 5. Решите уравнение $1-\log_{a^2}(1+x)=2\log_a\sqrt{x-1}-\log_{a^2}(x-1)^2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание 5. Решите уравнение $1-\log_{a^2}(1+x)=2\log_a\sqrt{x-1}-\log_{a^2}(x-1)^2$.$ Фото задания

Accepted Answer

Область определения: $a>0$, $a\ne1$, $x>1$. Используем свойства логарифмов:

$2\log_a\sqrt{x-1}=\log_a(x-1)=2\log_{a^2}(x-1)$, а $\log_{a^2}(x-1)^2=2\log_{a^2}(x-1)$. Поэтому правая часть равна нулю.

Тогда $1-\log_{a^2}(1+x)=0$, откуда $1+x=a^2$ и $x=a^2-1$. Требование $x>1$ даёт $a^2>2$.

Ответ: при $a>0$, $a\ne1$, $a^2>2$ решение $x=a^2-1$; при остальных допустимых значениях $a$ решений нет.

Задание 5. Решите уравнение \(1-\log_{a^2}(1+x)=2\log_a\sqrt{x-1}-\log_{a^2}(x-1)^2\).