Задание 6. Решите относительно \(x\) неравенство с параметром: \(\dfrac{m^{2x}-19}{m^x+1}<3-\dfrac{24}{m^{2x}+m^x}\).

При \(m>0\) положим \(t=m^x\), где \(t>0\). Тогда знаменатели положительны, и неравенство можно умножить на \(t(t+1)\):

\(t^2-19<3t(t+1)-\dfrac{24}{t+1}\) после домножения исходного неравенства на \(t(t+1)\) даёт \(t(t^2-19)<3t(t^2+t)-24\).

Переносим всё в одну сторону: \(2t^3+3t^2+19t-24>0\). Разложение на множители: \((t-1)(2t^2+5t+24)>0\). Квадратный множитель положителен при всех \(t\), поскольку его дискриминант отрицателен. Значит, \(t>1\), то есть \(m^x>1\).

Если \(m>1\), получаем \(x>0\); если \(0<m<1\), получаем \(x<0\). При \(m=1\) исходное неравенство верно при любом \(x\). При \(m\le0\) выражение в общем случае не определено в действительных числах.

Ответ: при \(m>1\) — \(x>0\); при \(0<m<1\) — \(x<0\); при \(m=1\) — любое действительное \(x\).