Задание 6. Докажите, что неравенство верно при любом значении переменной: 1) (x + 4)(x + 2) > x(x + 6); 2) 3(a − 5) + 4a < 7a − 14; 3) (y + 0,8)(y − 0,8) > y² − 1; 4) 9 + 5n(6n − 2) > (5n − 1)²; 5) m² − 8m + 2 < (2m − 2)²; 6) (b² + 7)² > 14b² + 28.

Раскроем скобки: \((x+4)(x+2)=x^2+6x+8\), а \(x(x+6)=x^2+6x\). Разность левой и правой частей равна \(8>0\).

Упростим левую часть: \(3(a-5)+4a=7a-15\). Так как \(7a-15<7a-14\), неравенство верно.

По формуле разности квадратов \((y+0.8)(y-0.8)=y^2-0.64\). Разность левой и правой частей равна \(0.36>0\).

Вычтем правую часть из левой: \(9+5n(6n-2)-(5n-1)^2=5n^2+8\). Поскольку \(5n^2+8>0\) при любом \(n\), неравенство верно.

Вычтем левую часть из правой: \((2m-2)^2-(m^2-8m+2)=3m^2+4m+2=3(m+\frac23)^2+\frac23>0\). Следовательно, неравенство верно при любом \(m\).

Вычтем правую часть из левой: \((b^2+7)^2-(14b^2+28)=b^4+21>0\). Неравенство верно при любом \(b\).