Задание 7. Докажите неравенство: 1) a² + b² ≥ 2ab; 2) x² + xy + y² ≥ −xy; 3) 5b² − 3b ≥ b² + b − 1; 4) m(n − m) ≤ n(n − m); 5) (a − b)(a + b) ≤ 2a(a + b); 6) 4c² + 10c + 5 ≤ 20c² + 2c + 6.

\(a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\ge0\), значит, \(a^2+b^2\ge2ab\).

Перенесём \(-xy\) в левую часть: \(x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\ge0\).

Разность левой и правой частей: \(5b^2-3b-(b^2+b-1)=4b^2-4b+1=(2b-1)^2\ge0\).

Правая часть минус левая: \(n(n-m)-m(n-m)=(n-m)^2\ge0\).

Правая часть минус левая: \(2a(a+b)-(a-b)(a+b)=(a+b)^2\ge0\).

Правая часть минус левая: \(20c^2+2c+6-(4c^2+10c+5)=16c^2-8c+1=(4c-1)^2\ge0\).