Задание 6. Если числитель дроби уменьшить на 1, а знаменатель дроби увеличить на 1, получится дробь, равная \(\frac{1}{2}\), а если вместо 1 взять 5, то получится дробь \(\frac{1}{3}\). Найдите дробь. Варианты: 1) \(\frac{31}{17}\); 2) \(\frac{3}{5}\); 3) \(\frac{2}{3}\); 4) \(\frac{2}{5}\); 5) \(\frac{17}{31}\).

Пусть искомая дробь равна \(\frac{a}{b}\). По условиям:

\(\frac{a-1}{b+1}=\frac{1}{2}\), откуда \(2a-b=3\).

\(\frac{a-5}{b+5}=\frac{1}{3}\), откуда \(3a-b=20\).

Вычитая первое уравнение из второго, получаем \(a=17\). Тогда из \(2a-b=3\): \(b=31\).

Ответ: вариант 5) \(\frac{17}{31}\).