Задание 6. Найдите tga, если cosa = \(\frac{\sqrt{10}}{8}\) и а ∈ (\(\frac{3\pi}{2}\); 2π).

Решение:

Поскольку \( \alpha \) принадлежит четвёртому координатному углу ( \( \alpha \) ∈ ( \( \frac{3\pi}{2} \); \( 2\pi \) ) ), то \( \sin \alpha < 0 \) и \( \operatorname{tg} \alpha < 0 \).

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

\[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left( \frac{\sqrt{10}}{8} \right)^2 = 1 - \frac{10}{64} = 1 - \frac{5}{32} = \frac{32-5}{32} = \frac{27}{32} \]

Так как \( \sin \alpha < 0 \), то \( \sin \alpha = -\sqrt{\frac{27}{32}} = -\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{32}} = -\frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{2}} = -\frac{3\sqrt{6}}{8} \).

Теперь найдем \( \operatorname{tg} \alpha \):

\[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{3\sqrt{6}}{8}}{\frac{\sqrt{10}}{8}} = -\frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{10}} = -3\sqrt{\frac{6}{10}} = -3\sqrt{\frac{3}{5}} = -3\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = -\frac{3\sqrt{15}}{5} \]

Ответ: \(-\frac{3\sqrt{15}}{5}\).