Задание 6. Последовательность задана условиями a₁ = 2, aₙ₊₁ = (aₙ − 1)/(aₙ + 1) при всех натуральных n. а) Найдите a₂₀₂₆. б) Найдите сумму первых 2026 членов последовательности.

Первые члены последовательности:

\(a_1=2,\quad a_2=\frac13,\quad a_3=-\frac12,\quad a_4=-3\).

Исправим вычисление четвёртого члена по заданной формуле: \(a_4=\frac{-1/2-1}{-1/2+1}=-3\). Далее \(a_5=2\), поэтому последовательность повторяется с периодом 4: \(2,\frac13,-\frac12,-3\).

а) Так как \(2026\equiv2\pmod4\), получаем \(a_{2026}=a_2=\frac13\).

б) Сумма одного периода равна \(2+\frac13-\frac12-3=-\frac76\). Первые 2024 члена составляют 506 периодов; ещё два члена дают \(a_1+a_2=\frac73\). Поэтому сумма равна \(506\cdot(-\frac76)+\frac73=-588\).

Ответ: а) \(\frac13\); б) \(-588\).