Задание 4. Найдите все натуральные числа \(n\), для которых оба числа \(n+12\) и \(n+45\) являются точными квадратами.

Пусть \(n+12=x^2\), а \(n+45=y^2\), где \(y>x\). Тогда \(y^2-x^2=33\), то есть \((y-x)(y+x)=33\).

Положительные пары множителей числа 33: \((1,33)\) и \((3,11)\). Они дают соответственно \((x,y)=(16,17)\) и \((x,y)=(4,7)\).

Тогда \(n=x^2-12\): получаем \(244\) и \(4\). Оба числа подходят.

Ответ: 4, 244.