Задание 5. В треугольнике ABC со сторонами AB = 3 и AC = 4 провели биссектрису AD. Прямая, проходящая через точку D перпендикулярно этой биссектрисе, пересекает прямые AB и AC в точках F и E соответственно. Найдите EC − FB.

Обозначим единичные векторы вдоль лучей \(AB\) и \(AC\) через \(u\) и \(v\). По теореме о биссектрисе \(BD:DC=3:4\), поэтому точка \(D\) делит отрезок \(BC\) в отношении \(3:4\). При \(B=3u\), \(C=4v\) получаем \(D=\frac{12}{7}(u+v)\).

Направление биссектрисы пропорционально \(u+v\). Прямая через \(D\), перпендикулярная биссектрисе, состоит из точек с одинаковой проекцией на \(u+v\). Если \(F=tu\), а \(E=sv\), это условие даёт \(t=s=\frac{24}{7}\).

Следовательно, \(FB=\left|\frac{24}{7}-3\right|=\frac{3}{7}\), а \(EC=\left|4-\frac{24}{7}\right|=\frac{4}{7}\). Поэтому \(EC-FB=\frac{1}{7}\).

Ответ: \(\frac{1}{7}\).