Задание 6. Решите относительно $x$ неравенство с параметром: $\dfrac{m^{2x}-19}{m^2+1}<3-\dfrac{24}{m^{2x}+m^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание 6. Решите относительно $x$ неравенство с параметром: $\dfrac{m^{2x}-19}{m^2+1}<3-\dfrac{24}{m^{2x}+m^2}$.$ Фото задания

Задание 6. Решите относительно $x$ неравенство с параметром: $\dfrac{m^{2x}-19}{m^2+1}<3-\dfrac{24}{m^{2x}+m^2}$.

Accepted Answer

При действительных показателях рассматриваем $m>0$. Положим $y=m^2>0$, $t=m^{2x}>0$. Знаменатели положительны, поэтому умножение на них не меняет знак неравенства.

После умножения и приведения подобных получаем $t^2-(2y+22)t-3y^2+2y+24<0$.

Обозначим $\Delta=(2y+22)^2+4(3y^2-2y-24)=16y^2+80y+388$. Корни соответствующего квадратного трёхчлена: $t_\pm=y+11\pm\sqrt{4y^2+20y+97}$. При $y>0$ имеем $t_-<0<t_+$. С учётом $t>0$ неравенство равносильно $0<t<t_+$.

Следовательно, $0<m^{2x}<m^2+11+\sqrt{4m^4+20m^2+97}$. При $m=1$ левая часть исходного неравенства равна $-9$, а правая — $-9$, поэтому решений нет. Если $m>1$, получаем $x<\dfrac{\ln(m^2+11+\sqrt{4m^4+20m^2+97})}{2\ln m}$. Если $0<m<1$, знак при делении на $2\ln m<0$ меняется: $x>\dfrac{\ln(m^2+11+\sqrt{4m^4+20m^2+97})}{2\ln m}$.

Ответ: при $m>1$ — $x<\dfrac{\ln(m^2+11+\sqrt{4m^4+20m^2+97})}{2\ln m}$; при $0<m<1$ — $x>\dfrac{\ln(m^2+11+\sqrt{4m^4+20m^2+97})}{2\ln m}$; при $m=1$ решений нет.

Задание 6. Решите относительно \(x\) неравенство с параметром: \(\dfrac{m^{2x}-19}{m^2+1}&lt;3-\dfrac{24}{m^{2x}+m^2}\).

Ответ:

Задание 6. Решите относительно \(x\) неравенство с параметром: \(\dfrac{m^{2x}-19}{m^2+1}<3-\dfrac{24}{m^{2x}+m^2}\).