Задание 6. Решите уравнения: 1) 9ˣ − 4·3ˣ + 3 = 0; 2) 25ˣ − 6·5ˣ + 5 = 0; 3) 4ˣ − 12·2ˣ + 32 = 0; 4) 16ˣ − 17·4ˣ + 16 = 0; 5) 64ˣ − 8ˣ − 56 = 0; 6) 25ˣ + 4·5ˣ − 5 = 0; 7) 2·9ˣ − 17·3ˣ = 9; 8) 25ˣ + 3·5ˣ + 2 = 0; 9) 9ˣ − 10·3ˣ + 9 = 0; 10) 3·4ˣ − 11·2ˣ = 4.

В каждом уравнении заменяем степень переменной основания на t. Поскольку t = aˣ для a > 1, всегда t > 0. Решаем квадратное уравнение и оставляем только положительные корни.

1. Пусть t = 3ˣ. Тогда t² − 4t + 3 = 0, откуда t = 1 или t = 3. Значит, 3ˣ = 1 или 3ˣ = 3, поэтому x = 0 или x = 1.

2. Пусть t = 5ˣ. Тогда t² − 6t + 5 = 0, откуда t = 1 или t = 5. Следовательно, x = 0 или x = 1.

3. Пусть t = 2ˣ. Тогда t² − 12t + 32 = 0, откуда t = 4 или t = 8. Следовательно, x = 2 или x = 3.

4. Пусть t = 4ˣ. Тогда t² − 17t + 16 = 0, откуда t = 1 или t = 16. Следовательно, x = 0 или x = 2.

5. Пусть t = 8ˣ. Тогда t² − t − 56 = 0, откуда t = 8 или t = −7. Поскольку t > 0, подходит только t = 8, поэтому x = 1.

6. Пусть t = 5ˣ. Тогда t² + 4t − 5 = 0, откуда t = 1 или t = −5. Учитывая t > 0, получаем t = 1, значит x = 0.

7. Пусть t = 3ˣ. Тогда 2t² − 17t − 9 = 0, откуда t = 9 или t = −1/2. Подходит t = 9, поэтому x = 2.

8. Пусть t = 5ˣ. Тогда t² + 3t + 2 = 0, откуда t = −1 или t = −2. Оба корня отрицательны, а t > 0, поэтому решений нет.

9. Пусть t = 3ˣ. Тогда t² − 10t + 9 = 0, откуда t = 1 или t = 9. Следовательно, x = 0 или x = 2.

10. Пусть t = 2ˣ. Тогда 3t² − 11t − 4 = 0, откуда t = 4 или t = −1/3. Подходит только t = 4, поэтому x = 2.

Ответ: 1) 0, 1; 2) 0, 1; 3) 2, 3; 4) 0, 2; 5) 1; 6) 0; 7) 2; 8) решений нет; 9) 0, 2; 10) 2.