Задание 6. В осьминога Иа-Иа есть 4 палочки длиной 4 см, 5 палочек длиной 5 см и 9 палочек длиной 9 см. Сколькими способами можно выбрать три палочки, из которых можно сложить треугольник? Все палочки считаем разными.

Пусть длины выбранных палочек расположены по возрастанию. Для треугольника сумма двух меньших длин должна быть строго больше третьей.

Подходят наборы длин 4, 4, 4; 4, 4, 5; 4, 5, 5; 5, 5, 5; 5, 5, 9; 5, 9, 9; 9, 9, 9. Число способов выбрать разные палочки для этих наборов:

\(\binom{4}{3}+\binom{4}{2}\binom{5}{1}+\binom{4}{1}\binom{5}{2}+\binom{5}{3}+\binom{5}{2}\binom{9}{1}+\binom{5}{1}\binom{9}{2}+\binom{9}{3}\)

\(=4+30+40+10+90+180+84=438\).

Набор 4, 5, 9 не подходит, потому что \(4+5=9\); набор 4, 4, 9 также не подходит.

Ответ: 438 способов.