Задание 8. Решите уравнение [x] · {x} = 11x, где [x] — целая часть числа x (наибольшее целое число, не превосходящее x), а {x}=x−[x] — дробная часть числа x. Укажите все подходящие корни.

Положим \([x]=k\), где \(k\) — целое число, а \(\{x\}=t\), где \(0\le t<1\). Тогда \(x=k+t\), и уравнение принимает вид:

\(kt=11(k+t)\), поэтому \(t(k-11)=11k\).

Если \(k=11\), равенство невозможно. При \(k\ne11\) получаем \(t=\dfrac{11k}{k-11}\). Условие \(0\le t<1\) выполняется только при \(k=-1\) или \(k=0\). Тогда соответственно \(t=\dfrac{11}{12}\) и \(t=0\), откуда \(x=-\dfrac{1}{12}\) и \(x=0\).

Ответ: \(-\dfrac{1}{12}\), 0.