Задание № 6 Дана прямоугольная трапеция ABCD (∠A = 90°), в которую вписана окружность радиусом 7 см. Сторона CD равна 18 см. Найти среднюю линию трапеции.

Решение:

1. Свойства трапеции с вписанной окружностью: В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.
2. Прямоугольная трапеция: В прямоугольной трапеции ABCD с ∠A = 90°, боковые стороны - это AD (высота) и BC. Основания - AB и CD.
3. Радиус вписанной окружности: Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции. AD = 2 * радиус = 2 * 7 см = 14 см.
4. Сумма оснований равна сумме боковых сторон: AB + CD = AD + BC.
5. Нахождение основания AB: Подставляем известные значения: AB + 18 см = 14 см + BC.
6. Свойство описанной окружности и трапеции: Для прямоугольной трапеции с вписанной окружностью выполняется свойство: AB + CD = 2 * BC (или 2 * AD, если AD - меньшая боковая сторона). В нашем случае AD - высота, и она равна диаметру вписанной окружности.
7. Нахождение основания AB (альтернативный подход): Также для трапеции, в которую вписана окружность, верно, что сумма противоположных сторон равна, т.е. AB + CD = AD + BC. Из того, что AD = 14 см, мы можем найти BC.
8. Используем формулу для трапеции с вписанной окружностью: AB + CD = AD + BC.
9. Нахождение BC: Если мы знаем, что AD=14, то AB+18 = 14+BC.
10. Применение свойства прямоугольной трапеции с вписанной окружностью: В прямоугольной трапеции, если в нее вписана окружность, то выполняется соотношение: AB + CD = AD + BC. Также, AD = BC, если трапеция равнобедренная. Но у нас она прямоугольная.
11. Важное свойство: В прямоугольной трапеции ABCD с ∠A = 90°, в которую вписана окружность, высота AD равна полусумме оснований, если бы она была равнобедренной. Но в прямоугольной трапеции, высота AD = 2r = 14 см.
12. Сумма боковых сторон равна сумме оснований: AB + CD = AD + BC.
13. Нахождение AB: Чтобы найти AB, нужно понять, как связаны стороны. Если мы опустим перпендикуляр из C на AB (или из B на CD), мы получим прямоугольник и прямоугольный треугольник.
14. Используем формулу для трапеции с вписанной окружностью: AB + CD = AD + BC.
15. Известно: CD = 18 см, AD = 14 см.
16. Нахождение BC: Если опустить перпендикуляр из C на основание AB, то мы получим прямоугольный треугольник с катетами, равными AD=14 см и разнице оснований |AB-CD|. Гипотенузой будет BC.
17. Свойство: В трапеции, в которую вписана окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон: AB + CD = AD + BC.
18. Подставляем известные значения: AB + 18 = 14 + BC.
19. Средняя линия трапеции (m): m = (AB + CD) / 2.
20. Нахождение средней линии: m = (AB + 18) / 2.
21. Из свойства трапеции с вписанной окружностью: AD + BC = AB + CD.
22. AD = 14 см (так как это высота, равная диаметру вписанной окружности).
23. BC = ?
24. Чтобы найти BC, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной BC и частью основания.
25. Если опустить высоту из C на AB, то получим прямоугольник и прямоугольный треугольник.
26. Свойство: Для трапеции, в которую вписана окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон. AB + CD = AD + BC.
27. AB + 18 = 14 + BC.
28. Также, в прямоугольной трапеции с вписанной окружностью, верно, что AD = BC, если бы это была равнобедренная трапеция. Но здесь AD - высота.
29. Из свойств: AD = 14 см.
30. Чтобы найти BC, нужно использовать теорему Пифагора, но для этого нужно найти разницу оснований.
31. Однако, средняя линия равна (AB + CD)/2.
32. Используем свойство: AB + CD = AD + BC.
33. AB + 18 = 14 + BC.
34. Средняя линия = (AB + CD) / 2.
35. Из того, что AB + CD = AD + BC, следует, что средняя линия = (AD + BC) / 2.
36. AB + 18 = 14 + BC.
37. Если мы найдем BC, то сможем найти AB.
38. Важное свойство прямоугольной трапеции с вписанной окружностью: Высота равна разности оснований, если смотреть на проекцию боковой стороны.
39. Проведем высоту из C на AB. Получим прямоугольник и прямоугольный треугольник.
40. Катет прямоугольного треугольника = |AB - CD|.
41. Другой катет = AD = 14.
42. Гипотенуза = BC.
43. AB + CD = AD + BC.
44. AB + 18 = 14 + BC.
45. Средняя линия = (AB + CD)/2.
46. Средняя линия = (AD + BC)/2.
47. Для того, чтобы найти BC, нужно знать AB.
48. Рассмотрим случай, когда окружность касается сторон AB, BC, CD, AD.
49. AD = 14.
50. CD = 18.
51. AB + 18 = 14 + BC.
52. Из теоремы о касательных: Если из точки провести касательные к окружности, то отрезки касательных от точки до точек касания равны.
53. Пусть точки касания на AB, BC, CD, AD будут P, Q, R, S соответственно.
54. AS = AP = 7 (так как AD = 14, S - середина AD).
55. DR = DS = 7 (так как AD = 14, S - середина AD).
56. CR = 18 - 7 = 11.
57. CQ = CR = 11.
58. BQ = BP.
59. AB = AP + PB = 7 + PB.
60. BC = BQ + QC = PB + 11.
61. Теперь подставляем в AB + CD = AD + BC:
62. (7 + PB) + 18 = 14 + (PB + 11).
63. 25 + PB = 25 + PB.
64. Это уравнение верно, но не дает нам значения PB.
65. Средняя линия = (AB + CD) / 2.
66. AB + CD = 18 + (7 + PB) = 25 + PB.
67. Средняя линия = (25 + PB) / 2.
68. AD + BC = 14 + (PB + 11) = 25 + PB.
69. Средняя линия = (AD + BC) / 2 = (14 + PB + 11) / 2 = (25 + PB) / 2.
70. Снова та же формула.
71. Давайте вернемся к среднему свойству: средняя линия равна полусумме оснований.
72. Средняя линия = (AB + CD) / 2.
73. Из условия: AB + CD = AD + BC.
74. Средняя линия = (AD + BC) / 2.
75. AD = 14.
76. BC = PB + 11.
77. Средняя линия = (14 + PB + 11) / 2 = (25 + PB) / 2.
78. Мы не можем найти PB из этих данных.
79. Перепроверим условие. Прямоугольная трапеция ABCD, ∠A = 90°, вписана окружность, радиус 7 см. CD = 18 см.
80. AD = 2r = 14 см.
81. AB + CD = AD + BC
82. AB + 18 = 14 + BC
83. Средняя линия = (AB + CD) / 2
84. Средняя линия = (14 + BC) / 2
85. Чтобы найти BC, нам нужен AB.
86. Опустим перпендикуляр из C на AB. Получим прямоугольный треугольник.
87. Катеты: AD = 14, |AB - CD| = |AB - 18|. Гипотенуза BC.
88. BC^2 = AD^2 + (AB - CD)^2 = 14^2 + (AB - 18)^2
89. BC^2 = 196 + (AB - 18)^2
90. Также BC = AB + 18 - 14 = AB + 4.
91. (AB + 4)^2 = 196 + (AB - 18)^2
92. AB^2 + 8AB + 16 = 196 + AB^2 - 36AB + 324
93. 8AB + 16 = 520 - 36AB
94. 44AB = 504
95. AB = 504 / 44 = 126 / 11.
96. Теперь найдем среднюю линию:
97. Средняя линия = (AB + CD) / 2 = (126/11 + 18) / 2
98. Средняя линия = (126/11 + 198/11) / 2 = (324/11) / 2 = 162/11.
99. Приблизительно 14.73 см.

Ответ: 162/11 см