Задание 7. Две окружности с центрами O₁ и O₃ и радиусами 4,5 и 2,5 касаются друг друга внешним образом и внешним образом касаются окружности с центром O₂ и радиусом 7,5. Найдите угол O₁O₂O₃.

При внешнем касании окружностей расстояние между центрами равно сумме радиусов, а при внутреннем касании — разности радиусов.

Поскольку окружности радиусов 4,5 и 2,5 внешне касаются друг друга, \(O_1O_3=4.5+2.5=7\). Каждая из них внутренне касается окружности радиуса 7,5, поэтому \(O_2O_1=7.5-4.5=3\) и \(O_2O_3=7.5-2.5=5\).

В треугольнике \(O_1O_2O_3\) угол при \(O_2\) лежит напротив стороны длины 7. По теореме косинусов:

\(\cos\angle O_1O_2O_3=\frac{3^2+5^2-7^2}{2\cdot3\cdot5}=-\frac12\).

Ответ: \(120^\circ\).