Задание 7. Решить неравенство. В ответ записать полученный промежуток: log_{5}(3x + 4) ≥-2

Решение:

Для решения неравенства \( \log_{5}(3x + 4) \ge -2 \) сначала учтём область допустимых значений (ОДЗ): \( 3x + 4 > 0 \), что даёт \( 3x > -4 \) и \( x > -\frac{4}{3} \).

Так как основание логарифма \( 5 > 1 \), функция \( \log_{5} t \) возрастает. Поэтому при переходе от логарифмического неравенства к линейному знак неравенства сохраняется.

\( 3x + 4 \ge 5^{-2} \)

\( 3x + 4 \ge \frac{1}{25} \)

\( 3x \ge \frac{1}{25} - 4 \)

\( 3x \ge \frac{1 - 100}{25} \)

\( 3x \ge -\frac{99}{25} \)

\( x \ge -\frac{99}{25 \cdot 3} \)

\( x \ge -\frac{33}{25} \)

Теперь учтём ОДЗ \( x > -\frac{4}{3} \). Переведём \(-\frac{33}{25}\) и \(-\frac{4}{3}\) к общему знаменателю \( 75 \).

\( -\frac{33}{25} = -\frac{99}{75} \)

\( -\frac{4}{3} = -\frac{100}{75} \)

Получаем \( x \ge -\frac{99}{75} \) и \( x > -\frac{100}{75} \).

Объединяя эти условия, получаем \( x \ge -\frac{99}{75} \), что соответствует \( x \ge -\frac{33}{25} \).

Ответ: [ -33/25; +∞ )