Задание 8.2. а) Решите уравнение 6cos²x-5sinx-2=0

Решение:

Заменим \( \cos^2x \) на \( 1 - \sin^2x \):

\[ 6(1 - \sin^2x) - 5\sin x - 2 = 0 \]

\[ 6 - 6\sin^2x - 5\sin x - 2 = 0 \]

\[ -6\sin^2x - 5\sin x + 4 = 0 \]

Умножим на -1:

\[ 6\sin^2x + 5\sin x - 4 = 0 \]

Пусть \( t = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 6t^2 + 5t - 4 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-4) = 25 + 96 = 121 \]

Найдём корни \( t \):

\[ t_1 = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 + 11}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \]

\[ t_2 = \frac{-5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 - 11}{12} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3} \]

Так как \( \sin x \) не может быть меньше -1, то \( \sin x = -\frac{4}{3} \) не имеет решений.

Рассмотрим \( \sin x = \frac{1}{2} \).

Основные решения:

\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) и \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).