Задание 8.3. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3\(\pi\); -\(\frac{3\pi}{2}\)]

Решение:

Из задания 8.3. а) мы получили корни уравнения в виде:

\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Теперь найдём корни, принадлежащие отрезку \( [-3\pi; -\frac{3\pi}{2}] \).

Рассмотрим первую серию корней: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \).

• При \( n = -1 \): \( x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi - 12\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6} \). \( -3\pi = -\frac{18\pi}{6} \), \( -\frac{3\pi}{2} = -\frac{9\pi}{6} \). Так как \( -\frac{18\pi}{6} \le -\frac{11\pi}{6} \le -\frac{9\pi}{6} \), то \( x = -\frac{11\pi}{6} \) принадлежит отрезку.
• При \( n = -2 \): \( x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = \frac{\pi - 24\pi}{6} = -\frac{23\pi}{6} \). \( -\frac{23\pi}{6} \) меньше \( -3\pi = -\frac{18\pi}{6} \), поэтому этот корень не принадлежит отрезку.
• При \( n = 0 \): \( x = \frac{\pi}{6} \), что больше \( -\frac{3\pi}{2} \).

Рассмотрим вторую серию корней: \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \).

• При \( n = -1 \): \( x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi - 12\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6} \). Так как \( -\frac{18\pi}{6} \le -\frac{7\pi}{6} \) (неверно, \( -\frac{7\pi}{6} \) больше \( -3\pi \)) и \( -\frac{7\pi}{6} \) больше \( -\frac{9\pi}{6} \) (т.е. \( -\frac{3\pi}{2} \)), то \( x = -\frac{7\pi}{6} \) принадлежит отрезку.
• При \( n = -2 \): \( x = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = \frac{5\pi - 24\pi}{6} = -\frac{19\pi}{6} \). \( -\frac{19\pi}{6} \) меньше \( -3\pi = -\frac{18\pi}{6} \), поэтому этот корень не принадлежит отрезку.
• При \( n = 0 \): \( x = \frac{5\pi}{6} \), что больше \( -\frac{3\pi}{2} \).

Ответ: \( -\frac{11\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6} \).