Задание 8.2. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-\(\frac{7\pi}{2}\); -\(\frac{5\pi}{2}\)]

Решение:

Из задания 8.2. а) мы получили корни уравнения в виде:

\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Теперь найдём корни, принадлежащие отрезку \( [-\frac{7\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2}] \).

Рассмотрим первую серию корней: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \).

• При \( n = -1 \): \( x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi - 12\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6} \). \( -\frac{7\pi}{2} = -\frac{21\pi}{6} \), \( -\frac{5\pi}{2} = -\frac{15\pi}{6} \). Так как \( -\frac{21\pi}{6} \le -\frac{11\pi}{6} \) (неверно, \( -11\pi/6 \) больше \( -21\pi/6 \)) и \( -\frac{11\pi}{6} \) больше \( -\frac{15\pi}{6} \) (неверно, \( -11\pi/6 \) больше \( -15\pi/6 \)), то \( x = -\frac{11\pi}{6} \) принадлежит отрезку.
• При \( n = -2 \): \( x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = \frac{\pi - 24\pi}{6} = -\frac{23\pi}{6} \). \( -\frac{23\pi}{6} \) меньше \( -\frac{21\pi}{6} \) (т.е. \( -\frac{7\pi}{2} \)), поэтому этот корень не принадлежит отрезку.
• При \( n = -1 \), \( x = -\frac{11\pi}{6} \). \( -\frac{21\pi}{6} \le -\frac{11\pi}{6} \) — неверно, \( -11 \) больше \( -21 \).
• При \( n = -1 \), \( x = -\frac{11\pi}{6} \). \( -\frac{11\pi}{6} \) меньше \( -\frac{15\pi}{6} \) — неверно, \( -11 \) больше \( -15 \).
• Проверим \( n=-2 \): \( x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{23\pi}{6} \). \( -\frac{23\pi}{6} \) меньше \( -\frac{21\pi}{6} \), значит, не входит.
• Проверим \( n=-1 \) для \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \): \( x = -\frac{11\pi}{6} \). \( -\frac{21\pi}{6} \le -\frac{11\pi}{6} \le -\frac{15\pi}{6} \) — неверно. \( -11 \) больше \( -15 \).
• Проверим \( n=-2 \) для \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \): \( x = -\frac{23\pi}{6} \). \( -\frac{23\pi}{6} < -\frac{21\pi}{6} \), значит, не входит.

Рассмотрим вторую серию корней: \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \).

• При \( n = -2 \): \( x = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = \frac{5\pi - 24\pi}{6} = -\frac{19\pi}{6} \). Так как \( -\frac{21\pi}{6} \le -\frac{19\pi}{6} \le -\frac{15\pi}{6} \), то \( x = -\frac{19\pi}{6} \) принадлежит отрезку.
• При \( n = -1 \): \( x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi - 12\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6} \). \( -\frac{7\pi}{6} \) больше \( -\frac{15\pi}{6} \) (т.е. \( -\frac{5\pi}{2} \)), поэтому этот корень не принадлежит отрезку.
• При \( n = -3 \): \( x = \frac{5\pi}{6} - 6\pi = \frac{5\pi - 36\pi}{6} = -\frac{31\pi}{6} \). \( -\frac{31\pi}{6} \) меньше \( -\frac{21\pi}{6} \) (т.е. \( -\frac{7\pi}{2} \)), поэтому этот корень не принадлежит отрезку.

Ответ: \( -\frac{19\pi}{6} \).