Задание 8.4. а) Решите уравнение 8cos²x-6sinx-3=0

Решение:

Заменим \( \cos^2x \) на \( 1 - \sin^2x \):

\[ 8(1 - \sin^2x) - 6\sin x - 3 = 0 \]

\[ 8 - 8\sin^2x - 6\sin x - 3 = 0 \]

\[ -8\sin^2x - 6\sin x + 5 = 0 \]

Умножим на -1:

\[ 8\sin^2x + 6\sin x - 5 = 0 \]

Пусть \( t = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 8t^2 + 6t - 5 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = 6^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5) = 36 + 160 = 196 \]

Найдём корни \( t \):

\[ t_1 = \frac{-6 + \sqrt{196}}{2 \cdot 8} = \frac{-6 + 14}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \]

\[ t_2 = \frac{-6 - \sqrt{196}}{2 \cdot 8} = \frac{-6 - 14}{16} = \frac{-20}{16} = -\frac{5}{4} \]

Так как \( \sin x \) не может быть меньше -1, то \( \sin x = -\frac{5}{4} \) не имеет решений.

Рассмотрим \( \sin x = \frac{1}{2} \).

Основные решения:

\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) и \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).