Задание 8.3. a) Решите уравнение 4cos²x-8sinx+1=0

Решение:

Заменим \( \cos^2x \) на \( 1 - \sin^2x \):

\[ 4(1 - \sin^2x) - 8\sin x + 1 = 0 \]

\[ 4 - 4\sin^2x - 8\sin x + 1 = 0 \]

\[ -4\sin^2x - 8\sin x + 5 = 0 \]

Умножим на -1:

\[ 4\sin^2x + 8\sin x - 5 = 0 \]

Пусть \( t = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 4t^2 + 8t - 5 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144 \]

Найдём корни \( t \):

\[ t_1 = \frac{-8 + \sqrt{144}}{2 \cdot 4} = \frac{-8 + 12}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]

\[ t_2 = \frac{-8 - \sqrt{144}}{2 \cdot 4} = \frac{-8 - 12}{8} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2} \]

Так как \( \sin x \) не может быть меньше -1, то \( \sin x = -\frac{5}{2} \) не имеет решений.

Рассмотрим \( \sin x = \frac{1}{2} \).

Основные решения:

\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) и \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).