Задание 8. Диагонали трапеции THPR пересекаются в точке O. Основания TH и PR равны 14 и 49 соответственно, высота трапеции равна 9. В трапеции THPR наугад выбирают точку. Найдите вероятность того, что точка будет принадлежать треугольнику TOR или треугольнику HOP.

Площадь трапеции: \(S=\frac{14+49}{2}\cdot9=283.5\).

Диагонали трапеции делятся точкой пересечения в отношении оснований: \(TO:OP=HO:OR=14:49\). Отсюда расстояние от точки O до основания PR равно \(9\cdot\frac{49}{14+49}=7\), а до основания TH — \(9-7=2\).

Треугольники TOR и HOP имеют равные площади. Для TOR можно взять за основание сторону TR высотой 9; расстояние от O до TR составляет \(\frac{14\cdot49}{14+49}\). Поэтому площадь каждого из этих треугольников равна \(\frac12\cdot9\cdot\frac{14\cdot49}{63}=49\).

Треугольники имеют только общую точку O, поэтому площадь благоприятной области равна \(49+49=98\). Тогда \(P=\frac{98}{283.5}=\frac{28}{81}\).

Ответ: \(\frac{28}{81}\).